2008년 3월호
CA

제목 : 가을단풍

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제목 : 세포분혈

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제목 : 생각

원본
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제목 : 삼태극

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디자인 저널 DESIGN JOURNAL (월간) 3월호

목차 
· 서스테인어블 디자인
환경을 예술로!_ 서스테인어블 디자인 [3], 공연예술편

· 공공디자인
녹색성장도시 에코피아, 가평_ 혁신사례 [3] 가평군 편

· 기획연재 1
노승완의 디자인 부도덕 강좌
전통을 현대화하는 문화중심 리더_ 광주요 그룹 조태권 회장
스스로를 디자인하는 디자이너_ 최중호
서정적인 퀼트디자이너_ 임경아
유비쿼터스 도시는 녹색인가?_ 송준화
기계감성의 극치, 프랙탈아트_ 박보석
굿굿굿, 좋은 간판

2009년 디자인저널(Design Journal) 3월호 프랙탈 소개

프랙탈이라는 용어에 대하여 일반적으로 두가지 설이 존재한다.

만델브로트가 IBM에서 연구원으로 근무하던중 자신의 논문 제목을 생각하다가 라틴어의 Fractus라는 낱말을 발견하여 FRACTAL이라는 용어를 만들었다는 설도 있고, 프랙탈 기하학이 정수가 아닌 분수(Fractional)차원을 가진다는 의미에서 FRACTAL이라는 용어를 만들었다는 설도 있다.

프랙탈의 속성은 자기 유사성Self-Similarity과 순환성Recursiveness이라는 특징을 가지고 있다.
삼라만상森羅萬象이 들어 있을것 만 같은 만델브로트 집합이나 줄리아 집합 뒤에는 z = z² + c이라는 간단한 수식에서 출발한다.

프랙탈은 컴퓨터의 발전과 더불어 더욱 알려지게 되다.
비록 몇 줄 되지 않는 프로그램이지만 그 속에 숨어 있는 물리적, 기하학적, 철학적 내용은 앞으로 우리가 연구해야 할 과제이다.

태초에 혼돈이 있었다.

혼돈이란 뜻을 가진 카오스chaos는 자연현상에서의 혼돈과 무질서에 대해 연구하는 이론이다.
카오스 이론은 단순한 수학적, 물리학적 학문이 아니라 우리 일상생활에서 쉽게 연결 지을 수 있으며 다양한 학문에 적용시켜 볼 만큼 폭이 넓은 이론이라 할 수 있다.
도대체 카오스 이론이 어떠한 것이길래 이처럼 다양한 분야에서 다루고 있는지 궁금지 않습니까?

1. 서 론
초고속 인터넷망의 보급과 웹2.0 이후 참여, 공유, 개방(확산)의 성격이 더욱 강화된 집단네트워크서비스인 SNS(Social Network Service) 사이트들이 급성장하고 있다. SNS는 자발적으로 참여한 수많은 사이트들로 구성되어 있다. 이 때 기초 구성단위가 되는 개개의 사이트들은 오프라인 시장을 구성하는 개인소비자로 간주할 수 있다. 그래서 이 사이트들을 오프라인 시장에서처럼 세분화하고 유목화하는 것은 SNS의 세분시장 별 맞춤형 커뮤니케이션의 기반을 마련하는 것이라는 점에서 긴요하다. 그러나 현재 SNS 사이트들을 체계적으로 분류할 수 있는 마땅한 방법은 아직 개발되어 있지 않다.
따라서 본 논문은 SNS 사이트를 Market으로 간주하고 이를 프랙탈(Fractal) 이론에 기초해 세분화하는 방식을 제안하고자 한다.

2. 프랙탈 이론의 자기유사성 기반으로 시장분류 제안
시장을 세분화 하는 일반적 기준으로는 인구통계학적, 사회심리학적 및 감성학적 기준 등 이 있다. 그러나 사이트 운영자에 대한 정보가 제한되어 있는 SNS 상에서는 기존의 방법을 사용하기 힘들다. SNS처럼 개인에 대한 정성적 정보가 제한되어 있고 정보취득을 위한 접근이 여의치 않은 상황에서는 정량적 정보의 패턴을 분석하는 확률적 방법이 효과적이다. 예컨대 SNS 상에서 개개의 사이트들이 연결되어 있는 양상 속에서 확률적으로 어떤 규칙성을 찾아낼 수 있다면 그것을 기반으로 SNS를 여러 단위로 세분화할 수 있다.
SNS의 사이트 연결양상을 분석할 수 있는 틀의 하나로 생각할 수 있는 것이 프랙탈(Fractal) 이론이다. SNS기반 사이트들에서 공통으로 나타나는 규칙의 하나는 콘텐츠별 자기 유사성과 공급자별 또는 수요자별 자기유사성인데 이는 프랙탈 이론에서 말하는 자기 복제성과 매우 유사하다.
따라서 프랙탈 이론을 기반으로 한 시장 세분화는 정성적 정보가 제한되어 있는 시장에서 가장 적합한 시장 세분화 전략의 하나를 제공할 가능성이 높다.

2-1. 프랙탈 현상이란?
일반적으로 프랙탈을 소개하자면 첫 번째로 꼽는 것이 [그림2-1] 같이 양치류이다. 미시적으로 본 양치류의 모습은 거시적형태와 매우 닮아있다. 이렇게 미시적 형태와 거시적 형태가 서로 유사한 형태로 반복되는 것을 프랙탈 현상 혹은 프랙탈 특성인 자기유사성이라 한다. 이런 프랙탈 현상들은 우리 주위에서도 쉽게 찾을 수 있는데 밤하늘을 가르는 번개, 복잡한 나무 그리고 우리가 자주 먹는 브로컬리에서도 비슷한 예를 찾을 수 있다.

[그림 2-1] 양치류

프랑스의 수학자인 만델브로트(Mandelbrot)가 1967년  과학 잡지 '사이언스'에 프랙탈과 관련된 논문을 발표한 이후 프랙탈은 물리, 지리, 건축, 철학, 예술, 의학 등의 거의 모든 분야에 있어 주목 받는 연구 분야가 되었다. 최근 많은 과학자들에 의해서 혼돈과 무질서에 관련된 연구가 더욱 활발해지고 있으며 이러한 혼돈의 무한한 반복적 복잡성에도 불구하고, 그 이면에 규칙적 구조가 존재한다는 사실이 밝혀지기 시작하면서 많은 사람들의 관심을 받게 되었다. 이러한 규칙적인 구조는 일반적인 혼돈역학에서 뿐 아니라 다양한 자연계에서도 공통적으로 관찰된다는 것이 입증되면서 이를 이용한 연구가 현재 활발히 진행되고 있다.
프랙탈은 물체를 아무리 크게 확대를 하거나 또는 무한대로 축소하여 현미경으로 들여다 볼 정도로 세분한다 할지라도 본래 물체가 가지고 있던 원래의 모습을 잃지 않고 계속 유지된다는 이론이다.  [그림2-2]과 같이 스스로를 계속 복제하여 끝없이 이어지는 성질을 가리키는 말이다.  반복 작용을 통해 끊임없이 만들어지는 세분화된 모양은 [그림2-2]과같이 원래의 형태와 동일한 모양의 자기 유사성을 갖는다.

2-2. SNS의 Network 형성 과정은 프랙탈구조와 매우 유사하다.
초고속 인터넷망 구축과 웹2.0이후 참여, 공유, 개방(확산)의 성격을 선호하는 개인들이 모여 SNS를 구축하고 있다. 이곳에서는 개인 자체가 콘텐츠 공급자(제작자)이자 곧 수요자이며 이런 양면성 혹은 상호작용성 덕분에 다량의 콘텐츠들이 기하급수적으로 창출되어 가고 있다. 웹2.0이 주장하는 살아있는 웹, 인간중심의 웹이라는 기본 개념은 디지털콘텐츠분야에 있어 비약적인 발전과 함께 집단 네트워크 서비스(Social Network Service)로 가는 중추적인 역할을 하고 있다. 이들에게서 생성되고 있는 디지털콘텐츠들은 더욱 복잡다단해지고 있다.  웹2.0을 대표하는 블로그, UCC 등의 참여 사이트들과 웹3.0으로 진화하고 있는 facebook, 싸이월드등 인맥관리로 대표되는 SNS(집단네트워크 서비스)  콘텐츠들은 하루에도 수억 건의 콘텐츠들이 생성되고 있다.
자신이 찍은 사진으로 미니홈피를 채우고 있는 싸이월드는 사진 UCC로 큰 인기를 끌었다. 미니홈피에 올려져있는 콘텐츠를 들여다보면 거미줄처럼 복잡하게 연결된 관계들 사이에 풍부한 콘텐츠들로 서로 소통하고 있는 공간이 구성되어 있음을 알 수 있다. 무한 반복적인 퍼나르기와 무한 복제가 더해진다면 더욱 복잡한 형태를 띄게 된다.
다시 말해 아주 단순한 행동 즉, 콘텐츠의 업로드와 사진 퍼나르기와 같은 행동들이 모여 거대하고 복잡한 싸이월드 그물망을 형성한다는 말이다.
프랙탈은 앞에서 언급했듯이 스스로를 계속 축소 복제하여 끝없이 이어지는 성질을 가리키는 말이라 했고 세분화된 모양은 원래의 형태와 동일한 자기 유사성을 갖는다했다.
SNS 네트웍에서의 유사성을 판단하는 기준은 여러 가지가 있을 수 있다. 공통의 관심사일 수도 있고 커뮤니케이션 방식일 수도 있다. 때론 상성(相性)에 따라 상이한 성격의 것들이 네트워킹 될 수도 있을 것이다. 보다 지엽적인 유사성 판단 기준도 SNS 상에서는 작동하는 것 같다. 예컨대 외모의 유사성을 중심으로 네트웍이 형성되기도 한다. 이런 유사성에 의해 콘텐츠 공급자로써의 나 자신과 콘텐츠를 퍼다 나르는 수요자는 네트웍의 기초단위가 되는 쌍방향적 네트웍을 형성한다. 이런 네트워킹이 반복되고 추가되면서 SNS는 자기 닮음을 바탕으로 한 속성의 콘텐츠들을 무수히 만들어 내게 되고 서로 인맥을 형성하게 된다.
이런 콘텐츠들은 다시 유사한 다른 콘텐츠 공급자들과 인맥으로 연결되어 다시 유사한 형태로 꼬리를 물고 이어진다. 태그(Tag) 달기라는 태깅(Tagging)은 유사한 콘텐츠들을 한곳을 모으는 역할을 하며 이를 통해서 유사한 컨텐츠 공급자간 또는 수요자간에 새로운 인맥이 끊임없이 일어나게 된다.
결국 공급자가 올린 사진은 공급자와 유사한 콘텐츠를 생산하게 되고 그 생산된 콘텐츠는 다시 공급자와 유사한 수요자에 의해 복사되어 유사한 콘텐츠공간에 제 생산되어 유사한 콘텐츠 공간을 형성하게 된다.

 처음 프랙탈을 접하게 된 것은 1992~3년인듯 싶다. 프랙탈은 처음 수학에서 출발했지만 필자가 처음 접한 것은 환성적인 색과 화려한 모양의 프랙탈 작품이 먼저였다.

지난 글에서 프랙탈에 대한 간단한 개요를 중심으로 프랙탈아트 작품을 소개했다면 이번 글에는 좀더 프랙탈에 관한 이야기를 중심으로 작품들을 소개하고자 한다. 프랙탈이 수학적인 요소에서 출발하였으나, 최근 화려한 색과 현란한 모양으로 뭇 디지털 아티스트들의 가슴을 설레게 만들고 있는 것은 사실이다. 프랙탈을 이야기 하다 보면 자주 테셀레이션과 비교 질문을 받곤 한다. 테셀레이션(tessellation)이란, 우리가 흔히 볼 수 있는 유리창문의 창살 및 욕실이나 마루 바닥에 깔려 있는 타일과 같이 틈이나 교차점 없이 평면이나 공간을 도형으로 덮는 형태(모양)를 말한다. 대표적인 테셀레이션 작가로는 모리츠 코르넬리스 에셔(Maurits Cornelis Escher) 이다. 에셔는 수학적 소재라 할 수 있는 테셀레이션을 예술적 경지로 발전시켰다. 아래의 테셀레이션 그림이나(좌) 혹은 에셔의 작품을 무한대로 확대(Zoom In) 하다 보면 원래의 이미지나 도형은 사라지게 된다. 이것은 자기 유사성을 가진 프랙탈(아래 작품 오른쪽)과는 다른 것이다. 프랙탈은 아래 프랙탈작품(우)에서 보듯이 무한히 확대해도 작은 소용돌이가 지속적으로 나타나게 되므로 이미지 형태가 변하지 않는다.

우리는 생활 속에서 많은 현상들을 보곤 한다.
주위에서 느끼는 이런 현상들 중에서 불규칙 적이고 무질서한 것들을 발견하게 된다.
나무, 해안선, 구름, 산, 태풍, 돌개바람, 담배연기 등등 이런 것들은 자연현상 속에서 무질서한 현상 및 상태를 나타낸다. 이런 혼돈과 무질서는 인간의 지식으로 정의를 내리기 힘든 것이 사실이다. 70년대부터 활발해진 이런 혼돈에 관한 연구가 Chaos 및 Fractal등으로 발전해 가고 있다. 영국의 해안선 길이는 얼마일까? IBM의 토머스 왓슨(Thomas J. Watson)연구센터의 만델브로트(BenoitMandelbrot)는 프랙탈 이론의 창시자라고 할 수 있으며, Fractal(프랙탈)이라는 말을 만들어 낸 장본인이다.
처음 그의 논문이 네이쳐지에 실렸을 때는 그리 주목을 받지 못하다 한다. 그러던 것이 70년대 후반에 이르러서 프랙탈이 뜨거운 감자가 되자 그때서야 과학자들이 부랴부랴 만델브로트의 논문을 뒤지는 해프닝이 있기도 했다고 한다. 그는 그의 논문(The Fractal Geometry of Nature)에서 심오한 의문을 제기한다. "영국의 해안선 길이는 얼마나 될까?" 라는 것인데 이 넌센스 같은 질문은 그 후 많은 논문의 지침이 되기도 했다.

반지름 1인 원의 원주의 길이를 구하는 방법을 생각해보면 고등학교 수학시간에 배운 원주 공식(2Πr)을 적용하면 된다.
Π(파이) = 3.14159.... 이므로 2Πr는 대략 6.28이 된다.
영국의 해안선을 알기 위해서 같은 방법으로 아래의 그림과 같이 적용 할 수 있다.

즉, 곡선의 길이를 잘게 쪼갠 직선의 길이의 합으로 가정하여 계산하는 방법은 측량기사가 지형도를 만들 때 사용하는 절대적으로 확실한 절차다. 아래의 표를 자세히 보면 그 이유를 알 것이다.

선을 많이 쪼갤수록 2Πr(6.28)에 가까워 짐을 알 수 있을 것이다. 따라서 만델브로트가 제시안 영국의 해안선이 얼마나 되는지 살펴보자.
프랙탈의 창시자는 IBM의 토머스 왓슨(Thomas J. Watson)연구센터의 만델브로트(Benoit Mandelbrot)이다. 그는 Fractal(프랙탈)이라는 말을 만들어 낸 장본인이다. 그는 논문 “The Fractal Geometry of Nature”에서 프랙탈 인식에 관한 간단한 질문을 내놓았다. "영국의 해안선 길이는 얼마나 될까?" 이 질문은 언뜻 보기에는 넌센스 같지만, 이 단순한 질문은 실로 심오한 의문을 제기한 것이다. 그러면 만델브로트가 제시한 영국의 해안선은 얼마나 될까? 아래의 그림은 영국의 해안선을 200마일 단위와 25마일 단위로 잰 것이다. 25마일 단위로 재면 200마일로 단위로 잰 것에 비해서 측정된 해안선의 길이가 길어진다. 그 이유는 해안선은 자세히 보면 볼수록 복잡하기 때문이다. 만일 더 작은 단위로 해안선을 재면 어떻게 될까? 예컨대, 1cm단위로 잰다면 어떨까? 아니, 원자 한 개 길이만한 자로 잰다면 어떨까?
 
만일 1cm 길이의 측정단위를 사용하여 전 해안선을 기다시피 하며 세밀하게 측정 할 경우, 모든 해안가의 짧은 곡선, 해안 바위들의 굴곡 하나하나가 합산 되어 해안선 측정 값은 엄청나게 증가되어 천문학적인 수치가 나올 것이다.

측정단위에 의해 합산된 곡선의 길이가 단위를 작게 할수록 무작위로 커진다면 그 곡선은 프랙탈 곡선이라고 한다. 따라서 영국의 해안선은 프랙탈이다. 이유는 영국의 해안선은 크고 작은 수많은 만, 내해, 작은 강, 복잡한 바위투성이들로 구성되어 매우 불규칙하기 때문이다. 더욱 짧은 측정단위를 사용하면 구부러진 지형들에 깔끔하게 맞출 수 있으며 이로 인해 전체 길이는 증가하게 될 것이다. 원 모양의 곡선과 영국의 해안선과 같은 곡선은 근본적인 차이가 있다. 이 차이점은 곧 고전적인 기하 형태와 프랙탈 기하 형태는 엄연히 다르다는 사실이다. 그래서, 여기에 첫째 명제가 제기된다. 영국의 해안선은 프랙털이다. 그래서 그 길이를 측정하는 데 따르는 어려움은 프랙탈의 정의를 어떻게 내리느냐 하는 것이다.

영국의 해안선이 프랙탈이라면 우리가 생활하고 있는 주위의 다른 곳에서도 프랙탈을 쉽게 찾을 수 있다. 구름, 산, 나무, 심지어 사람의 뇌의 주름 등에도 프랙탈을 발견할 수 있다.

-계속- 

자연속에 나타나는 프랙탈들..

앞에서 만델브로트가 제시안 영국의 해안선이 프랙탈이라면 우리 주위의 다른곳에서도 프랙탈을 찾을 수 있까? 해답은 자명하다.. 프랙탈은 우리 주의의 모든곳에서 찾을 수있다. 앞에서 정의-1 과 같이 곡선의 길이가 단위를 작게 할수록 무작위로 커진다면 그것은 프랙탈이라고 정의했다.(프랙탈 이야기-2 참조)

필자가 앞 글에서 언급했지만 프랙탈 특징을 이야기 하다 보면 항상 자기유사성(Self-similar)에 관하여 논하게 된다. 앞의 글에서도 언급했듯이 일반적으로 자기 유사한 물체는 프랙탈이라고 하지만, 모든 프랙탈에 자기유사성이 드러나는 것은 아니다. 프랙탈은 모든 곳에 존재하는 불규칙성에 의해 정의되지만, 이러한 불규칙성이 꼭 동일하게 보일 필요는 없다.

위의 사진 왼쪽은 달 표면에 남긴 발자국이라는 유명한 사진이다.
발자국 주변은 자갈이나 돌들로 인해 울퉁불퉁하고 불규칙적으로 보인다. 오른쪽 사진은 달에서 조금 떨어진 상태에서 지구를 찍은 사진인데, 아마 많이 본 적이 있을 것이다. 이 사진 또한 지구의 아름다운 모습이 잘 나타나는 유명한 사진중의 하나다. 자 그럼 두 사진을 보자. 지구를 바라보는 사진 속 달의 모습과 발자국이 찍힌 달 표면의 모습을 비교해 보자. 위의 왼쪽사진에서 발자국만 없다면 달의 표면과 그리 다를 것이 없다. 따라서 달도 프랙탈이다.

우리는 이전 글에서 프랙탈의 작은 부분이 전체와 유사한 것을 프랙탈의 자기유사성이라 했다. 그러나, 달표면을 비교한 두 장의 사진에서 관찰했듯이 모두 프랙탈의 불규칙성을 보여주고 있다. 그러나 프랙탈 차원은 멀리서 본 달 표면보다 가까이서 본 발자국 사진에서 더 높게 보인다.

- 계속 -

그럼 우리주위에서 프랙탈을 찾자보자..

[산]

산도 프랙탈이다.

멀리 보이는 산까지의 거리를 계산하는 것이 얼마나 어려운가?

그리고, 멀리 보이는 산들을 보노라면.. 모두 비슷한 모양을 하고 있다.. 깊이 들여다 보면... 험준한산이거나 아님은 그렇지 않거나 하는 정도지.. 모양은 다 비슷한 형태를 취하고 있다. 바로 산도 프랙탈이다.

정상에 올라서서 바로 앞에 보이는 언덕까지 2~3시간정도면 갈것이라고 생각하지만, 막상 가보면 험준한 개곡과 협곡들을 지나다보면 하루종일 걸릴수도 있다. 길은 곧아지고 기차나 비행기 항로등은 더욱 짧은 거리를 질주하고.. 옛날과 같이 굽이굽이 자연의 프랙탈을 밟아가던 자연과의 일체감에서 현대인들은 더욱 멀리 벗어나고 있는 지금... 산을 오르는 재미는 프랙탈 차원의 면들을 밟아가므로서 부분적으로나마 태초의 혼돈과 자연이 주는 프랙탈을 본능으로 인지하여, 자연으로부터 온 나 자신의 존재를 느끼는 재미가 아닌가? 한가지 생각해야될것이다. 프랙탈의 특징을 이야기하다보면 항상 자기유사성(Self-similar)에 관하여 논한다. 본인도 앞의 프랙탈이야기-1에서 언급했지만... 일반적으로 자기유사한 물체는 프랙탈이라고 하지만, 모든 프랙탈이 자기유사하지는 않음을 알아야한다. 프랙탈은 모든 범위에 존재하는 불규칙성에 의해 정의되지만, 이러한 불규칙성이 꼭 동일하게 보일 필요는 없다.

[구름]

구름도 산과같이 프랙털의 신비한 예가 될 수 있다.
비행기안 창측에 앉아서 구름을 관찰하는 것도 재밌는 프랙탈을 연구하는 일 일것이다. 어떻게 구름도 프랙탈이 될 수 있을까? 구름도 앞에서 언급한 산과 같이 불규칙하고 울퉁불퉁한 모습을 하고 있기 때문에 프랙탈로 정의를 내릴 수 있다.

[호수의 표면]

호수의 대부분의 표면은 잔잔하다.
바람부는 날에는 잔잔한 부분이 작아지고 고요한 날엔 커진다. 최근까지 호수면에 일어난 잔잔한 파문은 일정한 형태로 퍼져나가는 것으로 간주해 왔다. 그러나, 유체의 복잡한 운동의 하나인 와류(Turbulence)에 관한 연구가 진척되면서 이것은 옳지 않다는 것을 증명하기 시작했다. 바람부는 날 물표면을 아주 가까이서 관찰해 봄으로써 파문의 형태가 균일한 것이 아님을 찾아 낼 수 있다. 호수의 표면을 가까이서 들여다 볼때 매끈한 면과 거친 면이 연속적으로 되풀이되고 있는 지극히 복잡한 모습을 띠고 있음을 알 수 있다.
즉, 잔잔함과 거침이 혼합되어 연속적으로 나타나는 대표적인 프랙탈임을 알 수 있다.

[날씨]
만일 나이아가라 폭포위에서 하나의 작은 나무잎을 폭포에 띄운다면 몇 분 후 폭포 아래로 떨어진 잎은 어디에 있을까?
이런 물음에 아무리 고도의 과학으로 슈퍼컴퓨터를 동원하여 예측을 한다손 치더라도 정확한 답을 예측하기란 그리 쉬운일이 아니다. 날씨가 바로 그렇다. 강력하고 복잡한 슈퍼컴퓨터로 일기예보을 예측하지만 이러한 노력이 그리 만족스럽지는 못하다.
이것은 컴퓨터의 오작동도 아니고, 수학적 알고리즘이 부족해서도 아니다. 날씨에 관계하는 역학적인 구도가 혼돈적인 것이기 때문이다. 마치 앞에서 언급한 폭포 밑으로 떨어진 작은 나뭇잎의 위치를 예즉하는 것과도 같다. 날씨는 동역학계의 대표적인 예이다.
여기에 출렁거리는 호수 위의 고요한 파문은 지구뒷편으로 전달하여 어떤 영향을 줄지 모르는 일이다. 즉 카오스 이론의 모태가된 유명한 나비효과(베이징에서 나비 한마리가 날개를 퍼덕임으로써 뉴욕에 폭풍우가 몰아칠 수 있다) 이다.

지구상 어디에서인가 일어난 조그만 변화로 인해 예측할 수 없는 날씨 현상이 나타났다는 것을 설명한 것이다.
우리가 텔레비전에서 일기예보를 시청했던 사람이라면 알 수 있듯이, 전선을 동반하고 동쪽으로 천천히 이동하는 거대한 저기압대들이나 걸프만의 허리케인은 항시 존재한다. 일기에 관한 위성사진은 우리가 일상적으로 접하게 되는 것들 중 하나다. 이 위성사진들은 혼돈(Chaos) 일기 역학의 그래픽적인 표현으로 간주될 수 있다.
여기서 프랙탈에 이르는 또다른 경로 혼돈에 관하여 논하게 됬다.

정의 :
동역학계(Dynamic System)는 시간에 따라 변화하고 상호작용하는 부분들의 집합이다. 계통 내부의 초기 조건상의 변화가 후에 계통상에 커다란 변화를 초래하는 동역하계는 혼돈이라 한다.

프랙탈의 특징들
       - 분리된 차원(Fractional Dimension)

       - 모든 영역에서의 복잡한 구조(Complex Structure at all Scales)

       - 무한정한 가지치기(Infinite Branching) - 자기유사성(Self-Similarity)

       - 혼돈 역학(Chaotic Dynamics) 그러나, 이런 특징들이 모든 프랙탈에 적용되는 것은 아니다.

<계속>